## Geometrie der elliptischen Bahn

### 1. Position des Planeten in der Bahnebene

Der Abstand \( r \) vom Zentralstern ist gegeben durch:
\[ r = a \frac{1 - e^2}{1 + e \cos f} \]

wobei \( a \) die große Halbachse, \( e \) die Exzentrizität und \( f \) die wahre Anomalie ist.

### 2. Inklination \( i \)

Die Bahnebene des Planeten ist um den Inklinationswinkel \( i \) gegenüber der Beobachtungsebene geneigt.

## Projektion auf die Beobachtungsebene

### 3. Koordinaten in der Bahnebene

In der Bahnebene des Planeten:
\[ x' = r \cos f \]
\[ y' = r \sin f \]

### 4. Projektion der Position in die Beobachtungsebene

Aufgrund der Inklination \( i \) wird die \( y' \)-Komponente auf die Beobachtungsebene projiziert:
\[ y_{\text{proj}} = r \sin f \cos i \]

Die \( x' \)-Komponente bleibt unverändert, da sie in der Ebene der Ellipse liegt:
\[ x_{\text{proj}} = r \cos f \]

### 5. Berechnung des projizierten Abstands \( d \)

Der projizierte Abstand \( d \) in der Beobachtungsebene ist die Hypotenuse der projizierten Komponenten:
\[ d = \sqrt{x_{\text{proj}}^2 + y_{\text{proj}}^2} \]

Einsetzen der projizierten Komponenten:
\[ d = \sqrt{(r \cos f)^2 + (r \sin f \cos i)^2} \]

Vereinfachen der Gleichung:
\[ d = r \sqrt{\cos^2 f + \sin^2 f \cos^2 i} \]

Nutzung der Identität \( \cos^2 f + \sin^2 f = 1 \):
\[ d = r \sqrt{1 - \sin^2 f (1 - \cos^2 i)} \]
\[ d = r \sqrt{1 - \sin^2 f \sin^2 i} \]

====== separation d ======

Berücksichtigung des Arguments des Perizentrums \( \omega \)

Das Argument des Perizentrums \( \omega \) gibt die Ausrichtung der Ellipse relativ zur Knotenlinie an.

Der wahre Anomaliewinkel \( f \) wird um \( \omega \) verschoben, um die Gesamtposition relativ zur Knotenlinie zu bestimmen:
\[ f_{\text{effektiv}} = \omega + f \]

Einsetzen von \( f_{\text{effektiv}} \) in die Gleichung:
\[ d = r \sqrt{1 - \sin^2 (\omega + f) \sin^2 i} \]

## Endgültige Formel für den projizierten Abstand \( d \)

Durch Einsetzen von \( r \):
\[ d = a \frac{1 - e^2}{1 + e \cos f} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 (\omega + f) \sin^2 i}} \]