Auflösungsvermögen eines Gitters (Resolving Power)

\begin{equation} R = \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N \end{equation}

• $m$ Ordnung
• $N$ Anzahl der Linien des Gitters
• $\lambda$ betrachtete Wellenlänge
• $\\d\lambda$ auflösbare Wellenlängendifferenz

Zur Herleitung der Gleichung $ R = \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N $ ist es hilfreich, folgende Näherung zu betrachten. $$ \Delta \lambda = \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}\cdot \Delta\phi $$

Gesucht sind hier die beiden Ausdrücke $\frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ und $\Delta\phi$.

Die Ausdrücke lassen sich auf die folgende Weise physikalisch Interpretieren.

• $ \Delta \lambda$ Wellenlängendifferenz, die man gerade noch erkennen kann.
• $ \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ Winkeldispersion. Änderung der Wellenlänge, wenn man den Winkel ein wenig ändert.
• $\Delta\phi$ Diejenige Winkeländerung, die gerade erforderlich ist, um $\Delta \lambda$ zu erzeugen. Erforderlich ist, wenn man das Rayleigh-Kriterium zugrunde legt, dass $\Delta\phi$ ein Abstand auf dem Detektor erzeugt, der die halbe Halbwertsbreite des betrachteten Maximums beträgt. Damit ist gewährleistet, dass das Maximum von $\lambda + \Delta \lambda$ im Minimum von $\lambda$ liegt.

Die Gleichung $\frac{\\d \lambda}{\\d\phi}$ (sogenannte Winkeldispersion) folgt direkt aus der Ableitung der Gittergleichung.

$$g\,\sin(\phi) = m \lambda$$

Die linke Seite wird nach \(d\phi\) und die rechte Seite der Gleichung nach $d\lambda$ differenziert.

$$ {g\,\cos(\phi)d\phi=md\lambda} $$

Umstellen ergibt den gesuchten Ausdruck.

$$\frac{d \lambda}{d\phi}= \frac{g\,\cos(\phi)}{m}$$

Multiplizieren wir die Anzahl der Linien $N$ mit der Breite einer Linie $g$ (Gitterkonstante) erhalten wir die Länge $w$ des Gitters.

Betrachten wir die Wegdifferenz auf der gesamten Länge $w=Ng$ gilt: $$ N\,g\,sin(\Delta \phi) = \lambda$$

Wobei hier $\Delta \phi$ der Winkel zum ersten Minimum ist (halbe Halbwertsbreite). Ableiten ergibt: $$ N\,g\,cos( \phi) \Delta \phi = \lambda$$ $$ \Delta \phi = \frac{\lambda}{N\,g\,cos(phi)}$$

Multiplikation der oberen beiden Ausdrücke ergibt.

$$ \Delta \lambda = \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}\cdot \Delta\phi $$ $$\Delta \lambda = \frac{g\,\cos(\phi)}{m} \cdot \frac{\lambda}{N\,g\,cos(phi)}$$ $$\Delta \lambda = \frac{1}{m} \cdot \frac{\lambda}{N}$$ oder $$ \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = m\,N$$

• Das Auflösugnsvermögen eines Gitters steigt mit der Linienzahl $N$ des Gitters und der betrachteten Ordnung $m$.