## Geometrie der elliptischen Bahn
### 1. Position des Planeten in der Bahnebene
Der Abstand \( r \) vom Zentralstern ist gegeben durch: \[ r = a \frac{1 - e^2}{1 + e \cos f} \]
wobei \( a \) die große Halbachse, \( e \) die Exzentrizität und \( f \) die wahre Anomalie ist.
### 2. Inklination \( i \)
Die Bahnebene des Planeten ist um den Inklinationswinkel \( i \) gegenüber der Beobachtungsebene geneigt.
## Projektion auf die Beobachtungsebene
### 3. Koordinaten in der Bahnebene
In der Bahnebene des Planeten: \[ x' = r \cos f \] \[ y' = r \sin f \]
### 4. Projektion der Position in die Beobachtungsebene
Aufgrund der Inklination \( i \) wird die \( y' \)-Komponente auf die Beobachtungsebene projiziert: \[ y_{\text{proj}} = r \sin f \cos i \]
Die \( x' \)-Komponente bleibt unverändert, da sie in der Ebene der Ellipse liegt: \[ x_{\text{proj}} = r \cos f \]
### 5. Berechnung des projizierten Abstands \( d \)
Der projizierte Abstand \( d \) in der Beobachtungsebene ist die Hypotenuse der projizierten Komponenten: \[ d = \sqrt{x_{\text{proj}}^2 + y_{\text{proj}}^2} \]
Einsetzen der projizierten Komponenten: \[ d = \sqrt{(r \cos f)^2 + (r \sin f \cos i)^2} \]
Vereinfachen der Gleichung: \[ d = r \sqrt{\cos^2 f + \sin^2 f \cos^2 i} \]
Nutzung der Identität \( \cos^2 f + \sin^2 f = 1 \): \[ d = r \sqrt{1 - \sin^2 f (1 - \cos^2 i)} \] \[ d = r \sqrt{1 - \sin^2 f \sin^2 i} \]
Berücksichtigung des Arguments des Perizentrums \( \omega \)
Das Argument des Perizentrums \( \omega \) gibt die Ausrichtung der Ellipse relativ zur Knotenlinie an.
Der wahre Anomaliewinkel \( f \) wird um \( \omega \) verschoben, um die Gesamtposition relativ zur Knotenlinie zu bestimmen: \[ f_{\text{effektiv}} = \omega + f \]
Einsetzen von \( f_{\text{effektiv}} \) in die Gleichung: \[ d = r \sqrt{1 - \sin^2 (\omega + f) \sin^2 i} \]
## Endgültige Formel für den projizierten Abstand \( d \)
Durch Einsetzen von \( r \): \[ d = a \frac{1 - e^2}{1 + e \cos f} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 (\omega + f) \sin^2 i}} \]