Amateur Astronomie

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====== Auflösungsvermögen eines Gitters (Resolving Power) ======
\begin{equation}
R =  \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N
\end{equation}

  * $m$ Ordnung
  * $N$ Anzahl der Linien des Gitters
  * $\lambda$ betrachtete Wellenlänge
  * $\\d\lambda$ auflösbare Wellenlängendifferenz 


Zur Herleitung der Gleichung $  R =  \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N $ ist es hilfreich, folgende Näherung zu betrachten.
$$  \Delta \lambda =   \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}\cdot \Delta\phi $$

Gesucht sind hier die beiden Ausdrücke $\frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ und $\Delta\phi$.

Die Ausdrücke lassen sich auf die folgende Weise  physikalisch Interpretieren.
  * $ \Delta \lambda$ Wellenlängendifferenz, die man gerade noch erkennen kann.
  * $  \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ Winkeldispersion. Änderung der Wellenlänge, wenn man den Winkel ein wenig ändert.
  *  $\Delta\phi$ Diejenige Winkeländerung, die gerade erforderlich ist, um $\Delta \lambda$ zu erzeugen. Erforderlich ist, wenn man das **Rayleigh-Kriterium** zugrunde legt, dass $\Delta\phi$ ein Abstand auf dem Detektor erzeugt, der die halbe Halbwertsbreite des betrachteten Maximums beträgt. Damit ist gewährleistet, dass das Maximum von $\lambda + \Delta \lambda$ im Minimum von $\lambda$ liegt.
 
===== Ausdruck: $\frac{\\d \lambda}{\\d\phi}$ =====
Die Gleichung  $\frac{\\d \lambda}{\\d\phi}$ (sogenannte Winkeldispersion) folgt direkt aus der Ableitung der **Gittergleichung**.

$$g\,\sin(\phi) =  m \lambda$$ 

Die linke Seite wird nach \(d\phi\) und die rechte Seite der Gleichung nach $d\lambda$ differenziert.


$$ {g\,\cos(\phi)d\phi=md\lambda} $$

Umstellen ergibt den gesuchten Ausdruck.

$$\frac{d \lambda}{d\phi}= \frac{g\,\cos(\phi)}{m}$$


===== Ausdruck: $\Delta   \phi$ =====
Multiplizieren wir die Anzahl der Linien $N$ mit der Breite einer Linie $g$ (Gitterkonstante) erhalten wir die Länge $w$ des Gitters.

Betrachten wir die Wegdifferenz auf der gesamten Länge $w=Ng$ gilt:
$$ N\,g\,sin(\Delta \phi) = \lambda$$

Wobei hier $\Delta \phi$ der Winkel zum ersten Minimum ist (halbe Halbwertsbreite). Ableiten ergibt:
$$ N\,g\,cos( \phi) \Delta \phi = \lambda$$
$$ \Delta \phi = \frac{\lambda}{N\,g\,cos(phi)}$$

== Resolving Power ==
Multiplikation der oberen beiden Ausdrücke ergibt.

$$   \Delta \lambda =  \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}\cdot \Delta\phi $$
$$\Delta \lambda = \frac{g\,\cos(\phi)}{m} \cdot \frac{\lambda}{N\,g\,cos(phi)}$$
$$\Delta \lambda = \frac{1}{m} \cdot \frac{\lambda}{N}$$
oder
$$ \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = m\,N$$
  * Das Auflösugnsvermögen eines Gitters steigt mit der Linienzahl $N$ des Gitters und der betrachteten Ordnung $m$.
<note tip>
Beim StarAnalyser 100 und StarAnalyser 200 wird die erste Ordnung (m=1) betrachtet.
</note>