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Übersicht
Physik - Herleitungen
Formel die im Praktikum benötigt werden, sind hier hergeleitet. Die Verwendung/Bedeutung der Formeln sowie klärende Hinweise für die Herleitung können auch mit dem Programm StarAnalyser.jar untersucht werden.
Auflösungsvermögen eines Gitters (Resolving Power)
\begin{equation} R = \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N \end{equation}
- $m$ Ordnung
- $N$ Anzahl der Linien des Gitters
- $\lambda$ betrachtete Wellenlänge
- $\\d\lambda$ auflösbare Wellenlängendifferenz
Zur Herleitung der Gleichung $ R = \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N $ ist es hilfreich, folgende Näherung zu betrachten. $$ \Delta \lambda = \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}\cdot \Delta\phi $$
Gesucht sind hier die beiden Ausdrücke $\frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ und $\Delta\phi$.
Die Ausdrücke lassen sich auf die Folgende weise physikalisch Interpretieren.
- $ \Delta \lambda$ Wellenlängendifferenz, die man gerade noch erkennen kann.
- $ \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ Winkeldispersion. Änderung der Wellenlänge, wenn man den Winkel ein wenig ändert.
- $\Delta\phi$ Diejenige Winkeländerung, die gerade erforderlich ist, um $\Delta \lambda$ zu erzeugen. Erforderlich ist, wenn man das Rayleigh-Kriterium zugrunde legt. Das $\Delta\phi$ ein Abstand auf dem Detektor erzeugt, der die halbe Halbswertsbreite des betrachteten Maximums erzeugt.
Ausdruck: $\frac{\lambda}{\\d \phi}$
Ausdruck: $\frac{\\d\phi}{\\d \lambda}$
Die Gleichung $\frac{\\d\phi}{\\d \lambda}$ folgt direkt aus der Ableitung der Gittergleichung.
$$g\,\sin(\phi) = m \lambda$$
Die linke Seite wird nach \(d\phi\) und die rechte Seite der Gleichung nach $d\lambda$ differenziert.
$$ {g\,\cos(\phi)d\phi=md\lambda} $$
Umstellen ergibt den gesuchten Ausdruck.
$$\frac{d\phi}{d \lambda}= \frac{m}{g\,\cos(\phi)}$$