Formel die im Praktikum benötigt werden, sind hier hergeleitet. Die Verwendung/Bedeutung der Formeln sowie klärende Hinweise für die Herleitung können auch mit dem Programm StarAnalyser.jar untersucht werden.

$$\begin{equation} R = \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N \end{equation}$$

• $m$ Ordnung
• $N$ Anzahl der Linien des Gitters
• $\lambda$ betrachtete Wellenlänge
• $\\d\lambda$ auflösbare Wellenlängendifferenz

Zur Herleitung der Gleichung $R = \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N$ ist es hilfreich, folgende Näherung zu betrachten. $$\Delta \lambda = \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}\cdot \Delta\phi$$

Gesucht sind hier die beiden Ausdrücke $\frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ und $\Delta\phi$.

Die Ausdrücke lassen sich auf die Folgende weise physikalisch Interpretieren.

• $\Delta \lambda$ Wellenlängendifferenz, die man gerade noch erkennen kann.
• $\frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ Winkeldispersion. Änderung der Wellenlänge, wenn man den Winkel ein wenig ändert.
• $\Delta\phi$ Diejenige Winkeländerung, die gerade erforderlich ist, um $\Delta \lambda$ zu erzeugen. Erforderlich ist, wenn man das Rayleigh-Kriterium zugrunde legt, dass $\Delta\phi$ ein Abstand auf dem Detektor erzeugt, der die halbe Halbwertsbreite des betrachteten Maximums erzeugt. Damit ist gewährleistet, dass das Maximum von $\lambda + \Delta \lambda$ im Minimum von $\lambda$ liegt.

Die Gleichung $\frac{\\d\phi}{\\d \lambda}$ folgt direkt aus der Ableitung der Gittergleichung.

$$g\,\sin(\phi) = m \lambda$$

Die linke Seite wird nach $d\phi$ und die rechte Seite der Gleichung nach $d\lambda$ differenziert.

$${g\,\cos(\phi)d\phi=md\lambda}$$

Umstellen ergibt den gesuchten Ausdruck.

$$\frac{d \lambda}{d\phi}= \frac{g\,\cos(\phi)}{m}$$