$$\begin{equation} R = \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N \end{equation}$$

• $m$ Ordnung
• $N$ Anzahl der Linien des Gitters
• $\lambda$ betrachtete Wellenlänge
• $\\d\lambda$ auflösbare Wellenlängendifferenz

Zur Herleitung der Gleichung $R = \frac{\lambda}{\\d \lambda} = m \cdot N$ ist es hilfreich, folgende Näherung zu betrachten. $$\Delta \lambda = \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}\cdot \Delta\phi$$

Gesucht sind hier die beiden Ausdrücke $\frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ und $\Delta\phi$.

Die Ausdrücke lassen sich auf die folgende Weise physikalisch Interpretieren.

• $\Delta \lambda$ Wellenlängendifferenz, die man gerade noch erkennen kann.
• $\frac{\\d\lambda}{\\d \phi}$ Winkeldispersion. Änderung der Wellenlänge, wenn man den Winkel ein wenig ändert.
• $\Delta\phi$ Diejenige Winkeländerung, die gerade erforderlich ist, um $\Delta \lambda$ zu erzeugen. Erforderlich ist, wenn man das Rayleigh-Kriterium zugrunde legt, dass $\Delta\phi$ ein Abstand auf dem Detektor erzeugt, der die halbe Halbwertsbreite des betrachteten Maximums beträgt. Damit ist gewährleistet, dass das Maximum von $\lambda + \Delta \lambda$ im Minimum von $\lambda$ liegt.

Die Gleichung $\frac{\\d \lambda}{\\d\phi}$ (sogenannte Winkeldispersion) folgt direkt aus der Ableitung der Gittergleichung.

$$g\,\sin(\phi) = m \lambda$$

Die linke Seite wird nach $d\phi$ und die rechte Seite der Gleichung nach $d\lambda$ differenziert.

$${g\,\cos(\phi)d\phi=md\lambda}$$

Umstellen ergibt den gesuchten Ausdruck.

$$\frac{d \lambda}{d\phi}= \frac{g\,\cos(\phi)}{m}$$

Multiplizieren wir die Anzahl der Linien $N$ mit der Breite einer Linie $g$ (Gitterkonstante) erhalten wir die Länge $w$ des Gitters.

Betrachten wir die Wegdifferenz auf der gesamten Länge $w=Ng$ gilt: $$N\,g\,sin(\Delta \phi) = \lambda$$

Wobei hier $\Delta \phi$ der Winkel zum ersten Minimum ist (Halbwertsbreite). Ableiten ergibt: $$N\,g\,cos( \phi) \Delta \phi = \lambda$$ $$\Delta \phi = \frac{\lambda}{N\,g\,cos(phi)}$$

Multiplikation der oberen beiden Ausdrücke ergibt.

$$\Delta \lambda = \frac{\\d\lambda}{\\d \phi}\cdot \Delta\phi$$