Formelsammlung Exoplaneten

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Nachfolgend sind alle Formeln aufgeführt, die für unsere Analyse des Transits relevant sind. Viele dieser Formeln werden von interaktiven Animationen begleitet, und die Herleitungen sind im Buch des Autors zu finden. Es ist wichtig zu betonen, dass das Auffinden anderer Formeln im Internet nicht automatisch darauf schließen lässt, dass unsere oder deren Formeln automatisch falsch sind. Formeln müssen stets im Kontext betrachtet werden, etwa in Bezug auf spezifische Annahmen wie Kreisbahn versus Ellipse. Formeln beziehen sich somit immer auf Modelle, und abhängig von der Komplexität des Modells können verschiedene Formeln für denselben Sachverhalt existieren (Stichwort: Näherungen).

verwendete Abkürzungen

Kürzel	Bezeichung	Bedeutung	Englische Bezeichnung
$a$	Bahnradius (große Halbachse)
$b$	Impaktparameter
$i$	Inklination	Bahnneigung Bei Exoplaneten wird die Bahnneigung anders als bei Körpern des Sonnensystems (Planeten, Asteroiden, Satelliten, …) gemessen. So ist beispielsweise für einen Transit, der direkt durch die Mitte des Zentralgestirns verläuft (Impactparameter = 0), die Bahnneigung $i=90$°, was als („edge-on“) bezeichnet wird.	Inclination
$F$	Flux	Abgestrahlte Energie pro Zeit und Fläche. Bezogen auf einen kleinen Wellenlängen (oder Frequenz) bereich	Flux
$R_p$	Radius des Exoplaneten	-	Radius Exoplanet
$R_*$	Sternradius	Radius des Sternes um den sich der Exoplanet bewegt	Hoststar Radius
$L_☉$	Leuchtkraft der Sonne	Die gesamte Energie (pro Zeiteinheit) die von der Sonne abgestrahlt wird: $L_☉ =3,8 \cdot 10^{26}$ W

Übersicht über wichtige Formeln

Bezeichnung	Formel	Bedeutung
Transitwahrscheinlichkeit	$$ p_{tra} = \frac{R_*}{a} $$	Wichtiger (vereinfachter) Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit $p_{tra}$ eines Transits.
Impaktparameter	$$b = \frac{a\cdot cos(i)}{R_*}$$	Projektion der Planetenbahn auf eine Ebene senkrecht zum Beobachter. In diesem Sinne ist es der kürzeste Abstand, den der Planet zum Zentrum des Sternes haben kann. Der Impaktparameter wird in Einheiten von $R_*$ angegeben und kann deshalb Werte von 0 bis 1 annehmen.
Transittiefe	$$\frac{\Delta F}{F} = \frac{R_p^2}{R_^2}$$ $$R_p = R_ \cdot \sqrt{ \frac{\Delta F}{F} }$$	Relative Transittiefe: Wichtige Experimentell zu bestimmende Größe.
Leuchtkraft	$$L = 4 \pi R^2 \cdot F$$
Flux	$$F = \frac{L}{4 \pi R^2}$$
Oberfläche eine Kugel	$A= 4 \pi \cdot R^2 $
Volumen einer Kugel	$V= \frac{4}{3} \pi \cdot R^3$
Dichte	$\rho = \frac{M}{V}$	Dichte ($\rho$) ist die Masse (M) eines Körpers geteilt durch dessen Volumen (V)

Erläuterungen

Transitfiefe - transit depth

\begin{equation} \frac{\Delta F}{F} = \frac{R_p^2}{R_*^2} \end{equation} \begin{equation} \frac{\Delta F}{F} = \frac{F_s -F_{sp}}{F_s} = \frac{ F_S - (F_s-F_p)}{F_s} \end{equation}

$F_s$ Intensität (Flux) des Sterns
$F_{sp}$ Intensität des Sterns, während des Transits, dies ist $(F_s-F_p)$.
Experimentell ermittelter Wert, durch Auswertung der Lichtkurve
Wenn $R_*$ bekannt, kann hieraus der Radius ($R_p$) des Planeten berechnet werden!

$$ R_p = R_* \cdot \sqrt{ \frac{\Delta F}{F} } $$